使用频域方法的PID设计

With motion control applications, a PID or比例 +积分 +导数控制器通常是使用调谐或在商店地板上的试用过程实施的。但是，运动控制系统的建模允许对PID控制器项的分析推导。

由汤姆·拉迪根（Tom Radigan）|高级运动概念公司

对运动控制系统进行建模始于框图。图显示了此模型包括几个不同的元素。闭环运动控制系统的那些包括输出位置C（s），该位置c（s）不断使用反馈进行监控……在这种情况下，是线性编码器。

求和结,反馈是减去from the target position R(s) and the result is an error E(s) that is sent to the PID controller. In motion-control applications the PID controller operates in discrete time with a sampling period. Every sampling period, the digital controller takes the error signal and produces an output within ±10 volts. It does this using a zero-order hold and a DAC or digital to analog converter. The zero-order hold refers to the process of sampling the signal and then holding between intervals; this introduces a delay into the system.

这是一个闭环运动控制系统，其输出位置C（s）不断使用反馈进行监控……在这种情况下，是线性编码器。

然后，数字到模拟转换器接收PID控制器的输出，并将其转换为模拟电压。放大器采用电压信号并产生电动机的输出电流。线性执行器采用输出电流并产生线性力，该线性将转化为输出位置。线性编码器通常使用计数测量的正交信号提供对控制器的位置反馈。尽管模型是离散和连续时间元素的混合物，但让我们在连续时间执行分析以简化模型。

实际上，运动控制系统的建模使用拉普拉斯变换在S域中进行，以得出传输函数。理想形式的PID控制器的S域传输函数是：

k_p是比例的收益，t_一世是整体时间常数，t_d是导数时间常数。让K。_一世成为整体收益和K_dthe derivative gain:

使用这些术语，可以实现PID控制器的并行形式：

零级保持传输函数是带有采样周期τ的一阶低通滤波器_sh/2：

让τ_sh= 0.001秒：

The DAC is modeled as a constant gain with n bit resolution:

Letting n= 14 bit:

放大器建模为恒定增益k_是。考虑到有限的带宽f_b添加了一阶低通滤波器。滤波器的时间常数为τ_是：

让K。_是= 2安培/伏特和F_b= 2,000 Hz：

线性执行器被建模为增益k_F- 线性运动力常数加上f = mA的拉普拉斯变换。在这里，A是加速度，M是执行器和有效载荷的质量。该模型没有摩擦，因为系统将使用空气轴承。执行器传输函数具有输出（仪表）和当前（AMP）的输入：

让K。_F= 8.9牛顿/放大器，M = 00.5公斤：

The linear encoder is modeled as a gain Ke. If the resolution of the linear encoder is 0.1µm/count, then the linear-encoder gain is K_e=每米10,000,000。

从零级保持到线性编码器的所有元素的乘法称为开环函数 - g_p（S）H（S）。此频域分析中的开环函数是：

开环函数对正弦输入的响应称为其频率响应。频率响应可以通过在开环函数中用JΩ替换S来计算频率响应。那么稳态响应是：

Where the difference between the output and input sine waves can be described by two parameters — magnitude M and phase φ. Magnitude measures the amplitude ratio and phase measures the phase shift. The magnitude and phase can be determined with a calculator for low-order systems. For higher-order systems, the magnitude and phase can be determined using technical computing software such as Matlab or GNU Octave.

首先 - 我们需要计算G的阶段_p（JΩ₁）h（jΩ₁）或argg_p（JΩ₁）h（jΩ₁）。这是在指定频率ω处的每个开环函数的每个元素的相移的添加₁。必须选择指定的频率……让我们选择487弧度/秒：

Second — the magnitude |G_p（JΩ₁）h（jΩ₁）计算为1.749。

第三 - 我们需要指定相位边缘φ_m（或稳定性）系统。相位边缘是在频率ω处的实际相位和-180°之间的差异。₁增益等于0 dB。我们选择一个62°相距。

第四 - 然后可以找到PID控制器的参数或相移贡献：

θ的大小必须小于90°……现在我们可以解决PID比例增益：

解决派生时间常数：

解决PID导数增益：

最后，解决PID积分增益：

请注意，这些计算不是系统稳定性的保证。工程师必须使用闭环传输功能检查系统响应对步骤输入的响应……并且还必须使用Nyquist图检查系统稳定性。最后，要匹配PID增益与控制器，PID的形式必须相同。例如，运动控制器PID必须采用合适的或平行的形式。否则，收益将不会计算为适当的值。有关更多信息，请阅读反馈控制系统，第五版 - Charles L. Phillips和John M. Parr。

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